Metodo di Monte Carlo

E' un insieme di tecniche probabilistiche e statistiche utilizzate per risolvere problemi complessi o per simulare sistemi che sarebbero difficili da analizzare con metodi deterministici.
È particolarmente utile in situazioni in cui il calcolo esatto di una soluzione è impossibile o estremamente complicato.

Principi fondamentali

Il metodo di Monte Carlo si basa sull'idea di utilizzare campionamenti casuali per stimare proprietà di un sistema o di un problema.
Ecco i passaggi generali:
1. Definizione del problema: Il problema viene tradotto in termini probabilistici, spesso rappresentato come un dominio di soluzioni possibili.
2. Generazione di numeri casuali: Si generano numeri casuali (o pseudo-casuali) per simulare i fenomeni aleatori o esplorare lo spazio delle soluzioni.
3. Valutazione delle simulazioni: Si calcola una proprietà o un risultato per ciascun campione.
4. Stima della soluzione: L'output finale si ottiene combinando i risultati di molte simulazioni, spesso come una media o una distribuzione.

Esempi di applicazione

1. Integrazione numerica: Per calcolare un integrale difficile, si può approssimarlo campionando casualmente punti sotto la curva e stimando l'area.
2. Fisica e Chimica: Per simulare processi fisici complessi, come il comportamento delle particelle nei gas o i sistemi molecolari.
3. Finanza: Per valutare opzioni finanziarie, simulando migliaia di possibili percorsi di mercato per stimare il valore atteso.
4. Ottimizzazione: Per esplorare grandi spazi di soluzioni (ad esempio, nei problemi di progettazione).

Esempio pratico: calcolo di π

Un classico esempio del metodo di Monte Carlo è stimare il valore di π. Supponiamo di avere un quadrato di lato 2 con un cerchio inscritto di raggio 1. Il rapporto tra l'area del cerchio e del quadrato è proporzionale a π/4.
1. Generiamo punti casuali nel quadrato ((-1, 1)) per (x) e (y).
2. Contiamo quanti punti cadono all'interno del cerchio (\(x^2 + y^2 \leq 1\)).
3. Stimiamo π come (4 \times \frac{\text{punti nel cerchio}}{\text{punti totali}}\).

Vantaggi

- Può essere applicato a problemi complessi e ad alte dimensioni.
- Facile da implementare.
- Non richiede la conoscenza di formule esatte.

Svantaggi

- Converge lentamente (richiede un numero molto grande di simulazioni per ottenere precisione).
- Richiede una buona generazione di numeri casuali.