Cos'è una Derivata Composta

Nel mondo del calcolo differenziale, la derivata composta è un concetto fondamentale che gioca un ruolo cruciale nell'analisi delle funzioni.
Questo articolo ti guiderà attraverso la definizione di derivata composta, la sua formula e alcuni esempi pratici per comprendere meglio come calcolarla.

Definizione di Derivata Composta

La derivata composta è il risultato dell’applicazione della regola della derivata alla composizione di due o più funzioni. In altre parole, se hai due funzioni, \( f(x) \) e \( g(x) \), la derivata composta riguarda la derivata della funzione composta \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \), ovvero la derivata di una funzione che dipende da un’altra funzione.

Formula della Derivata Composta

La formula per calcolare la derivata composta è espressa tramite la **regola della catena**, che afferma che: \[ \frac{d}{dx} \left[ f(g(x)) \right] = f'(g(x)) \cdot g'(x) \] Questa formula implica che per calcolare la derivata della funzione composta, bisogna moltiplicare la derivata della funzione esterna \( f'(g(x)) \) per la derivata della funzione interna \( g'(x) \).

Passaggi per Calcolare una Derivata Composta

Per calcolare la derivata composta di una funzione, segui questi semplici passaggi:
1. Identifica le due funzioni: Devi riconoscere le due funzioni coinvolte nella composizione,( f(x)) e ( g(x)).
2. Calcola la derivata della funzione esterna: Deriva la funzione esterna ( f(x) ), mantenendo ( g(x) ) invariata.
3. Calcola la derivata della funzione interna: Deriva la funzione interna ( g(x) ).
4. Moltiplica le due derivate: Moltiplica la derivata della funzione esterna per la derivata della funzione interna.

Esempio di Derivata Composta

Supponiamo di avere la funzione composta: \[ h(x) = \sin(x^2) \] In questo caso, possiamo scrivere \( f(x) = \sin(x) \) e \( g(x) = x^2 \). Ora, applicando la regola della catena: \[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \] 1. Derivata della funzione esterna \( f(x) = \sin(x) \): \( f'(x) = \cos(x) \).
2. Derivata della funzione interna \( g(x) = x^2 \): \( g'(x) = 2x \).
Quindi, la derivata della funzione composta sarà: \[ h'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x \]