Densità di probabilità

La funzione di densità di probabilità (PDF, dall'inglese Probability Density Function) è una funzione matematica che descrive la probabilità relativa di una variabile casuale di assumere determinati valori.
In altre parole, la PDF assegna probabilità a intervalli di valori della variabile casuale.
Per una variabile casuale continua, la PDF è definita in modo che l'area sotto la curva della funzione, su un intervallo di valori, rappresenti la probabilità che la variabile casuale cada in quell'intervallo.
La PDF non restituisce direttamente la probabilità di un singolo punto, ma fornisce la densità di probabilità in quel punto.
Per una variabile casuale continua X, la PDF è spesso denotata come f(x) e deve soddisfare due proprietà:

• La PDF deve essere sempre non negativa: \(f(x) \geq 0\) per ogni x.
• L'area totale sotto la curva della PDF deve essere uguale a 1.

Matematicamente, se X è una variabile casuale continua, la PDF soddisfa:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 \] Questa equazione esprime il fatto che la somma delle probabilità su tutti i possibili valori di X è uguale a 1. La funzione di densità di probabilità è fondamentale nella teoria delle probabilità e nella statistica, in quanto fornisce uno strumento matematico per descrivere e analizzare il comportamento delle variabili casuali continue.
La distribuzione normale, di cui ho parlato nella risposta precedente, è un esempio comune di distribuzione con una PDF.

Distribuzione normale

Anche conosciuta come distribuzione gaussiana, è una distribuzione di probabilità continua che è spesso utilizzata in statistica a causa delle sue proprietà matematiche e della sua comune occorrenza in molti fenomeni naturali. La sua funzione di densità di probabilità (PDF) è data dalla formula:
\[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \] dove: - f(x) è la funzione di densità di probabilità,
- x è la variabile casuale,
- μ è la media della distribuzione,
- σ è la deviazione standard,
- π è il numero pi greco (approssimativamente 3.14159),
- e è la costante di Nepero (approssimativamente 2.71828)
La distribuzione normale ha una forma a campana simmetrica e la sua media μ determina il punto centrale della campana, mentre σ la deviazione standard, controlla la sua larghezza.
La maggior parte dei dati in natura segue una distribuzione normale.
Esempio:
Supponiamo di avere un esame in cui la media è μ = 70 e la deviazione standard è σ = 10 .
Possiamo calcolare la probabilità di ottenere un voto superiore a 80 utilizzando la distribuzione normale.
Utilizzando la formula, sostituiremo i valori noti:
\[ f(x) = \frac{1}{10 \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - 70)^2}{2 \times 10^2}} \] Poi, possiamo calcolare l'integrale della funzione da 80 fino all'infinito per ottenere la probabilità di ottenere un voto superiore a 80.
È importante notare che la funzione di densità di probabilità non restituisce direttamente probabilità,
ma l'area sotto la curva (distribuzione normale) rappresenta la probabilità cumulativa.
Pertanto, l'integrazione è spesso coinvolta per calcolare le probabilità specifiche.
In pratica, tali calcoli sono spesso eseguiti utilizzando tabelle di distribuzione normale standardizzata o software statistico.

Distribuzione di Poisson

E' una distribuzione di probabilità discreta che modella il numero di eventi rari che si verificano in un dato intervallo di tempo o spazio. La distribuzione di Poisson è descritta dalla seguente funzione di massa di probabilità:
\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!} \] dove:
- P(X = k) è la probabilità di ottenere k eventi,
- e è la costante di Nepero (approssimativamente 2.71828),
- λ è il tasso medio di eventi che si verificano nell'intervallo di interesse,
- k è il numero effettivo di eventi che stai cercando di calcolare, - k! rappresenta il fattoriale di k , ovvero il prodotto di tutti i numeri interi da 1 a k . Il valore atteso μ e la deviazione standard σ della distribuzione di Poisson sono dati rispettivamente da λ
λ:
μ=λ
σ= λ ​
\[ \sigma = \sqrt{\lambda} \]
La percentuale di deviazione standard rispetto al valore atteso può essere calcolata come:
\[ \% \text{Deviazione Standard} = \left( \frac{\sigma}{\mu} \right) \times 100 \] Quindi, in termini di percentuale, la deviazione standard è \( \sqrt{\l ambda} \times 100 \) rispetto al valore atteso λ. In sintesi, la distribuzione di Poisson è utile per modellare eventi rari, e il tasso medio λ rappresenta sia il valore atteso che la varianza della distribuzione.

La distribuzione di Poisson e la distribuzione normale/gaussiana

Sono due tipi di distribuzioni di probabilità, ognuna con caratteristiche distintive.
Forma della curva: - La distribuzione di Poisson ha una forma a campana asimmetrica e discreta.
Rappresenta il numero di eventi che si verificano in un intervallo fisso di tempo o spazio, ed è adatta per modellare eventi rari.
- La distribuzione normale ha una forma a campana simmetrica e continua.
È utilizzata per descrivere fenomeni che seguono una distribuzione continua e è caratterizzata da una media e una deviazione standard.
Variabili: - La distribuzione di Poisson è spesso associata al conteggio di eventi discreti, come il numero di chiamate ricevute in un call center in un'ora o il numero di errori di stampa su una pagina.
- La distribuzione normale è comunemente utilizzata per modellare variabili continue come altezze, pesi o misurazioni scientifiche.
Caratteristiche dei parametri: - La distribuzione di Poisson è completamente descritta dal suo tasso medio λ, che rappresenta sia la media che la varianza.
- La distribuzione normale è caratterizzata dalla media μ e dalla deviazione standard σ.
La media indica il centro della distribuzione, mentre la deviazione standard controlla la dispersione.
Applicazioni:

• La distribuzione di Poisson è spesso utilizzata quando si contano eventi rari, come incidenti stradali o arrivi a un banco d'informazioni
• La distribuzione normale è applicata in una vasta gamma di situazioni in cui le variabili casuali continue seguono un modello di campana, come le altezze di una popolazione o gli errori di misurazione.

In breve:

• la distribuzione di Poisson è specificamente adatta per modellare il conteggio di eventi rari
• la distribuzione normale è più generale e viene utilizzata per variabili continue e fenomeni che seguono una distribuzione simmetrica e continua.