Distribuzione Ipergeometrica

La distribuzione ipergeometrica è una distribuzione di probabilità discreta che descrive il numero di successi in un campionamento senza reinserimento, cioè quando si estraggono oggetti da un insieme finito senza rimettere gli oggetti estratti.
È usata quando la probabilità di successo cambia ad ogni estrazione, a causa della mancanza di reinserimento.

Formula della Distribuzione Ipergeometrica

La probabilità di osservare esattamente \(k\) successi in un campione di dimensione \(n\), prelevato da una popolazione di \(N\) oggetti, di cui \(K\) sono successi, è data dalla formula:
\[ P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \]
dove:
- (N) è il numero totale di oggetti,
- (K) è il numero di successi nella popolazione,
- (n) è la dimensione del campione,
- (k) è il numero di successi osservati nel campione.

Esempio di Applicazione

Immagina di avere un mazzo di 52 carte, di cui 13 sono cuori (i successi).
Se estrai 5 carte senza reinserirle, la distribuzione ipergeometrica ti permette di calcolare la probabilità di estrarre esattamente 3 cuori in quel campione di 5 carte.

Proprietà della Distribuzione Ipergeometrica

- Media: \( \mu = \frac{nK}{N} \)
- Varianza: \( \sigma^2 = \frac{nK(N-K)(N-n)}{N^2(N-1)} \)
- Assenza di reinserimento: la probabilità cambia ad ogni estrazione.

Esempio in Python

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import hypergeom

# Parametri della distribuzione
N = 52  # numero totale di carte
K = 13  # numero di cuori nel mazzo
n = 5   # numero di carte estratte
x = np.arange(0, n+1)
y = hypergeom.pmf(x, N, K, n)

# Creazione del grafico
plt.bar(x, y, color='red', alpha=0.6, edgecolor='black')
plt.xlabel('Numero di Cuori Estratti')
plt.ylabel('Probabilità')
plt.title('Distribuzione Ipergeometrica (52 carte, 13 cuori, 5 estrazioni)')
plt.show()

Interpretazione del Grafico

Il grafico mostra la probabilità di estrarre un certo numero di cuori da un mazzo di 52 carte, dato che vengono estratte 5 carte senza reinserirle. La distribuzione è discreta, con picchi che rappresentano i numeri più probabili di cuori che possono essere estratti.

Applicazioni della Distribuzione Ipergeometrica

- Estrazione di carte da un mazzo
- Test statistici come il test di ipotesi per la proporzione di successi in un campione
- Contagio in epidemiologia: quando si estrae un campione di individui da una popolazione con una percentuale nota di persone infette.