Distribuzione Normale

La distribuzione normale, anche chiamata distribuzione gaussiana, è una distribuzione di probabilità continua che descrive fenomeni naturali comuni, come l'altezza delle persone, i punteggi nei test, o gli errori di misura.
È caratterizzata dalla famosa curva a campana.

Formula della Distribuzione Normale

La funzione di densità di probabilità (PDF) della distribuzione normale è data dalla formula: \[ P(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{\frac{-(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \] dove:
\( \mu \) è la media della distribuzione, \( \sigma \) è la deviazione standard, \( e \) è la base dei logaritmi naturali (circa 2.718).

Proprietà della Distribuzione Normale

- Simmetria: la distribuzione normale è simmetrica attorno alla sua media \( \mu \).
- Media, Mediana, Moda: in una distribuzione normale, la media, la mediana e la moda coincidono.
- Campana: la distribuzione ha la forma di una campana, con la maggior parte dei valori concentrati attorno alla media.
- Asintoticità: le code della distribuzione si estendono all'infinito ma non toccano mai l'asse orizzontale.

Esempio 1: Altezza delle Persone

Immagina che l'altezza media di una popolazione sia di 170 cm con una deviazione standard di 10 cm. Possiamo usare la distribuzione normale per calcolare la probabilità che una persona scelta casualmente abbia un'altezza compresa tra 160 cm e 180 cm.

Esempio 2: Punteggi nei Test

In un test di matematica, la media dei punteggi è 75 con una deviazione standard di 8. La distribuzione normale può essere usata per stimare la probabilità che un alunno ottenga un punteggio compreso tra 70 e 80.

Esempio in Python: Visualizzazione della Distribuzione Normale

Utilizziamo Matplotlib e Scipy per generare e visualizzare una distribuzione normale.
Il codice può essere eseguito su Google Colab.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

# Parametri della distribuzione
mu, sigma = 0, 1  # media e deviazione standard
x = np.linspace(-5, 5, 1000)
y = norm.pdf(x, mu, sigma)

# Creazione del grafico
plt.plot(x, y, label='Distribuzione Normale', color='blue')
plt.fill_between(x, y, color='blue', alpha=0.1)
plt.xlabel('Valore di x')
plt.ylabel('Probabilità')
plt.title('Distribuzione Normale (μ=0, σ=1)')
plt.legend()

Interpretazione del Grafico

Nel grafico, la distribuzione normale ha una forma simmetrica attorno a \( \mu = 0 \), con una deviazione standard di \( \sigma = 1 \). La maggior parte dei valori si concentra attorno alla media, con una diminuzione graduale verso le estremità.

Esempio in Python: Visualizzazione di una Distribuzione Normale con un Set di Dati

Nel seguente esempio, generiamo un dataset di 1000 valori casuali seguendo una distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 15.

# Generazione di un dataset
mu, sigma = 100, 15  # media e deviazione standard
data = np.random.normal(mu, sigma, 1000)

# Visualizzazione dell'istogramma
plt.hist(data, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='green')

# Aggiunta della curva della distribuzione normale
xmin, xmax = plt.xlim()
x = np.linspace(xmin, xmax, 100)
y = norm.pdf(x, mu, sigma)
plt.plot(x, y, 'k', linewidth=2)
plt.title('Distribuzione Normale (μ=100, σ=15)')
plt.xlabel('Valore di x')
plt.ylabel('Probabilità')
plt.show()

Interpretazione del Grafico

Nel secondo grafico, vediamo un istogramma dei dati generati casualmente che segue una distribuzione normale, con la curva della distribuzione sovrapposta per mostrarne la forma. La distribuzione è centrata attorno a 100, con una deviazione standard di 15.

Applicazioni della Distribuzione Normale

- Analisi statistica: molte tecniche statistiche si basano sulla distribuzione normale, come il test t e l'analisi di regressione.
- Contabilità e finanza: per modellare i rendimenti degli investimenti o i prezzi delle azioni.
- Scienze sociali e naturali: per descrivere fenomeni come l'altezza o la durata della vita.