Distribuzione di Student's t

Descrizione:

La distribuzione t di Student è utilizzata per modellare le distribuzioni dei campioni quando le dimensioni del campione sono piccole e la deviazione standard della popolazione è sconosciuta.
È simile alla distribuzione normale ma più larga nei gradi di libertà più bassi.

Parametro principale:

I gradi di libertà (\( \nu \)), che determinano la forma della distribuzione.
Aumentando i gradi di libertà, la distribuzione t si avvicina alla distribuzione normale.

Applicazioni:

È spesso utilizzata nei test di significatività statistica e nell'analisi di dati campionari.

Distribuzione di Student's t:

```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import t

# Parametri
df = 5  # gradi di libertà

# Genera campione
sample_size = 1000
sample_t = t.rvs(df, size=sample_size)

# Plot
plt.hist(sample_t, bins=30, density=True, alpha=0.5, color='g')
plt.title('Distribuzione di Student\'s t')
plt.xlabel('Valore')
plt.ylabel('Densità di probabilità')
plt.show()
```

        

Distribuzione del Chi quadrato

Descrizione:

La distribuzione del Chi quadrato è utilizzata per modellare la somma dei quadrati di variabili casuali standard normali indipendenti.
È ampiamente utilizzata in inferenza statistica, in particolare in test di ipotesi e nella costruzione di intervalli di confidenza.

Parametro principale:

I gradi di libertà (\( k \)), che influenzano la forma della distribuzione.
Aumentando i gradi di libertà, la distribuzione del Chi quadrato assomiglia sempre più a una distribuzione normale.

Applicazioni:

Comunemente utilizzata in analisi di regressione, analisi della varianza (ANOVA) e in molti altri contesti statistici.

Codice Distribuzione del Chi quadrato:

```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import chi2

# Parametri
df = 3  # gradi di libertà

# Genera campione
sample_size = 1000
sample_chi2 = chi2.rvs(df, size=sample_size)

# Plot
plt.hist(sample_chi2, bins=30, density=True, alpha=0.5, color='b')
plt.title('Distribuzione del Chi quadrato')
plt.xlabel('Valore')
plt.ylabel('Densità di probabilità')
plt.show()
```

       

Distribuzione esponenziale:

Descrizione:

La distribuzione esponenziale modella il tempo tra gli eventi di un processo di Poisson, dove gli eventi si verificano in modo indipendente e a una velocità costante nel tempo.
È spesso utilizzata per modellare il tempo di attesa tra gli arrivi di eventi successivi.

Parametro principale

Il tasso (\( \lambda \)), che rappresenta il tasso di eventi per unità di tempo.

Applicazioni:

Comunemente utilizzata in modellizzazione di tempi di attesa, analisi di affidabilità e in situazioni in cui è necessario modellare la distribuzione del tempo tra eventi successivi.

Codice Distribuzione esponenziale:

```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import expon

# Parametri
lambda_param = 0.5  # tasso

# Genera campione
sample_size = 1000
sample_exponential = expon.rvs(scale=1/lambda_param, size=sample_size)

# Plot
plt.hist(sample_exponential, bins=30, density=True, alpha=0.5, color='r')
plt.title('Distribuzione esponenziale')
plt.xlabel('Valore')
plt.ylabel('Densità di probabilità')
plt.show()
```

       

Distribuzione Logistica:

Descrizione:

- La distribuzione logistica è una distribuzione continua che assomiglia alla distribuzione normale ma ha code più pesanti.
È utilizzata per modellare variabili casuali continue con code più lunghe rispetto alla normale.
- La sua funzione di densità di probabilità (PDF) è definita come:
\[ f(x) = \frac{e^{-(x - \mu)/s}}{s(1 + e^{-(x - \mu)/s})^2} \] dove \( \mu \) è la posizione della curva e \( s \) è il parametro di scala.

Esempi:

     ```python
     import numpy as np
     import matplotlib.pyplot as plt
     from scipy.stats import logistic

     # Parametri
     mu = 0  # Posizione
     s = 1   # Scala

     # Genera campione
     sample_size = 1000
     sample_logistic = logistic.rvs(loc=mu, scale=s, size=sample_size)

     # Plot
     plt.hist(sample_logistic, bins=30, density=True, alpha=0.5, color='purple')
     plt.title('Distribuzione Logistica')
     plt.xlabel('Valore')
     plt.ylabel('Densità di probabilità')
     plt.show()
     ```

   

Applicazioni:

- **Analisi di estremi:** La distribuzione logistica è spesso utilizzata nelle analisi di estremi per modellare code più lunghe rispetto alla distribuzione normale. Ad esempio, può essere utilizzata nelle scienze ambientali per modellare eventi estremi come le piene del fiume.
- **Modellizzazione delle curve di crescita:** In biologia e statistica, la distribuzione logistica può essere utilizzata per modellare curve di crescita che presentano un periodo di crescita accelerata seguito da una stabilizzazione.
La distribuzione logistica trova applicazioni in una varietà di campi, soprattutto quando è necessario modellare variabili casuali con code più lunghe o quando si affrontano dati che seguono una forma simile alla crescita logistica.