"Regola dei Grandi Numeri"

La legge dei grandi numeri è un principio matematico fondamentale che stabilisce che,
all'aumentare del numero di prove, la media dei risultati si avvicina sempre di più al valore atteso.
Questo principio è alla base di molte teorie e applicazioni statistiche ed è di fondamentale importanza per comprendere il concetto di probabilità.
Per comprendere meglio la legge dei grandi numeri, consideriamo un semplice esperimento di lancio di una moneta.
Supponiamo di lanciare la moneta 10 volte e registrare il numero di volte che esce testa.
Se la moneta è equilibrata, ci aspettiamo che il numero di teste sia intorno a 5.
Tuttavia, se effettuiamo solo 10 lanci, potremmo ottenere un numero di teste molto diverso da 5, ad esempio 3 o 7.
Questa variabilità è dovuta al fatto che il numero di prove è ancora relativamente piccolo.
Tuttavia, se aumentiamo il numero di lanci a 100, 1000 o addirittura un milione, la media dei risultati si avvicinerà sempre di più al valore atteso di 5.
Questo significa che, all'aumentare del numero di prove, la variabilità diminuisce e la media si stabilizza intorno al valore atteso.
In altre parole, la legge dei grandi numeri afferma che la probabilità di ottenere un risultato vicino al valore atteso aumenta all'aumentare del numero di prove.

RGN debole

• Afferma che la media campionaria converge in probabilità
  alla media teorica o valore atteso.
• Formalmente, per ogni ε > 0, la probabilità che la differenza tra la media campionaria e il valore atteso
  sia maggiore di ε si avvicina a zero all'aumentare del numero di osservazioni.

RGN forte

• Afferma che la media campionaria converge quasi sicuramente
  (cioè con probabilità 1) alla media teorica o valore atteso.
• In altre parole, con probabilità 1, la media campionaria si avvicina al valore atteso
  quando il numero di osservazioni cresce all'infinito.

La Regola dei Grandi Numeri è fondamentale perché fornisce una base teorica per comprendere come le fluttuazioni casuali si riducano quando si considerano un gran numero di osservazioni.
Questo principio è alla base di molte applicazioni statistiche e gioca un ruolo chiave in campi come l'economia, la finanza e la teoria delle probabilità.