Intelligenza Artificiale

A un certo punto non fu più la biologia a dominare il destino dell'uomo, ma il prodotto del suo cervello: la cultura.
Cosicché: "Le uniche leggi della materia sono quelle che la nostra mente deve architettare e le uniche leggi della mente sono architettate per essa dalla materia".
JAMES CLERK MAXWELL

Teorema Centrale del Limite


Definizioni ed Esempi

Il Teorema Centrale del Limite (TCL), afferma che, quando si sommano un gran numero di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d.), la distribuzione della somma converge a una distribuzione normale,
indipendentemente dalla forma della distribuzione originale delle variabili casuali.
Il TCL è di particolare importanza perché rende la distribuzione normale una distribuzione fondamentale in molti contesti statistici.
Ecco una descrizione del teorema con esempi:

Descrizione del Teorema Centrale del Limite

1. Variabili Casuali i.i.d.:
Consideriamo n variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite (\(X_1, X_2, \ldots, X_n\)) con una certa distribuzione di probabilità.
2.Somma delle Variabili Casuali:
Definiamo la somma \(S_n = X_1 + X_2 + \ldots + X_n\). 3.Convergenza alla Distribuzione Normale:
Aumentando n , la distribuzione di S_n converge a una distribuzione normale (gaussiana) con media \(n \cdot \mu\) e deviazione standard \(\sqrt{n \cdot \sigma^2}\),
dove µ è la media delle variabili casuali e σ è la loro deviazione standard.

Esempio Pratico

Supponiamo di avere una moneta equa, dove ottenere "testa" è rappresentato da X = e "croce" da X = 0.
Lanciamo la moneta n volte e sommiamo i risultati.
- Variabili Casuali:
Sia X_i la variabile casuale che rappresenta l'esito del i-esimo lancio.
- Somma delle Variabili Casuali
La somma \(S_n = X_1 + X_2 + \ldots + X_n\) rappresenta il numero totale di "teste" in n lanci.
- Applicazione del TCL:
Secondo il TCL, all'aumentare del numero di lanci n, la distribuzione della somma S_n converge a una distribuzione normale con media \(n \cdot \frac{1}{2}\) (la media della variabile casuale) e deviazione standard \(\sqrt{n \cdot \frac{1}{4}}\).
Questo significa che, anche se la distribuzione delle singole variabili casuali è binomiale, la somma di un grande numero di lanci si avvicinerà a una distribuzione normale. Questo è un esempio semplificato, ma il TCL è applicabile a una vasta gamma di distribuzioni originali delle variabili casuali i.i.d.