Autovalori e Autovettori

Un autovalore e un autovettore sono rispettivamente uno scalare e un vettore che soddisfano la seguente equazione:
\[ A \cdot v = \lambda \cdot v \]
Dove: - (A) è una matrice quadrata di dimensione \(n \times n\).
- (v) è l'autovettore, un vettore non nullo.
- λ è l'autovalore, uno scalare associato.
In parole semplici, un autovettore di una matrice è un vettore che, quando moltiplicato per la matrice, viene semplicemente scalato (allungato o accorciato) da un fattore chiamato autovalore.

Come Calcolare Autovalori e Autovettori

Passaggi principali

Scrivere l'equazione caratteristica:
\[ \text{det}(A - \lambda I) = 0 \] Dove (I) è la matrice identità.
2. Risolvere l'equazione caratteristica: Determinare i valori di (\lambda\) che soddisfano l'equazione.
3. Calcolare gli autovettori: Per ogni autovalore \(\lambda\), risolvere il sistema lineare:
\[ (A - \lambda I) v = 0 \]

Esempio Pratico con Python e NumPy

Usiamo Python per calcolare gli autovalori e autovettori di una matrice.

import numpy as np

# Definizione della matrice
A = np.array([[4, 2],
              [1, 3]])

# Calcolo di autovalori e autovettori
autovalori, autovettori = np.linalg.eig(A)

print("Matrice:")
print(A)
print("Autovalori:")
print(autovalori)
print("Autovettori:")
print(autovettori)
```

**Output:**
```
Matrice:
[[4 2]
 [1 3]]
Autovalori:
[5. 2.]
Autovettori:
[[ 0.89442719 -0.70710678]
 [ 0.4472136   0.70710678]]

Perché Sono Importanti

Gli autovalori e autovettori hanno applicazioni in numerosi campi:
1. Fisica: Utilizzati per analizzare sistemi dinamici e vibrazioni.
2. Machine Learning: Sono alla base di tecniche come l'analisi delle componenti principali (PCA).
3. Ingegneria: Usati per studiare stabilità strutturale e dinamica.
4. Grafi e Reti: Applicati per analizzare la connettività e il comportamento di reti complesse.