Test t

Il test t di Student è un metodo statistico usato per determinare se la media di un campione è significativamente diversa da un valore atteso della popolazione.

Quando si usa il test t

- Quando il campione è piccolo n < 30.
- Quando la deviazione standard della popolazione (\( \sigma \)) è sconosciuta.
Vediamo come funziona il test t applicandolo a un esempio sulla durata delle batterie.

Fasi del Test delle Ipotesi

Affermare le Ipotesi

Vogliamo verificare se la durata media delle batterie è maggiore di 10 ore.
- Ipotesi nulla (\( H_0 \)): la durata media è uguale o inferiore a 10 ore. \[ H_0: \mu \leq 10 \] - Ipotesi alternativa (\( H_1 \)): la durata media è maggiore di 10 ore. \[ H_1: \mu > 10 \]

Stabilire i Criteri di Decisione

Per testare \( H_0 \), calcoliamo la statistica t con la formula: \[ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \] Dove:
- \( \bar{x} \) = media del campione - \( \mu_0 \) = media ipotizzata (10 ore) - \( s \) = deviazione standard del campione - ( n) = numero di osservazioni La statistica ( t ) segue una distribuzione t di Student, che dipende dai gradi di libertà (\( df \)): \[ df = n - 1 \]

Valore critico della distribuzione t di Student

Per un livello di significatività \( \alpha = 0.05 \), il valore critico viene preso dalla tabella t di Student.

Dove trovare la tabella t

[Tabella t su Wikipedia] [Tabella t su Stat Trek]

Eseguire il Test

Esempio pratico: durata delle batterie
Supponiamo di testare 10 batterie** con: \( \bar{x} = 10.8 \) ore \( s = 0.7 \) ore ( n = 10 ) Calcoliamo
\[ t = \frac{10.8 - 10}{\frac{0.7}{\sqrt{10}}} = \frac{0.8}{\frac{0.7}{3.162}} = \frac{0.8}{0.221} = 3.62 \]

Prendere una Decisione

- Con \( df = 9 \) e \( \alpha = 0.05 \), dalla tabella t di Student, il valore critico è 1.833.
- Poiché ( t = 3.62 > 1.833 ), rifiutiamo \( H_0 \).
- Conclusione: la durata media delle batterie è significativamente maggiore di 10 ore.

Codice Python per il Test t

Ecco come calcolare il valore di **t** e il **p-value** con Python:

import numpy as np
import scipy.stats as stats

# Dati del problema
x_bar = 10.8  # Media del campione
mu_0 = 10     # Media ipotizzata sotto H0
s = 0.7       # Deviazione standard del campione
n = 10        # Dimensione del campione
df = n - 1    # Gradi di libertà

# Calcoliamo il valore di t
t = (x_bar - mu_0) / (s / np.sqrt(n))

# Calcoliamo il p-value (probabilità di ottenere un valore di t uguale o maggiore)
p_value = 1 - stats.t.cdf(t, df=df)

# Stampiamo i risultati
print(f"Statistiche del Test: t = {t:.4f}, p-value = {p_value:.4f}")

# Interpretazione del risultato
alpha = 0.05  # Livello di significatività

if p_value < alpha:
    print("Rifiutiamo l'ipotesi nulla: la durata media delle batterie è significativamente maggiore di 10 ore.")
else:
    print("Non possiamo rifiutare l'ipotesi nulla: non ci sono prove sufficienti per dire che la durata media è maggiore di 10 ore.")

Conclusione

✔️ Il test t viene usato quando la deviazione standard della popolazione è sconosciuta e il campione è piccolo.
✔️ La distribuzione t di Student aiuta a determinare se la media del campione è significativamente diversa da quella della popolazione.
✔️ Nel nostro esempio, t = 3.62 e il p-value è inferiore a 0.05, quindi possiamo concludere che le batterie durano significativamente più di 10 ore.