Le variabili casuali discrete sono una categoria di variabili casuali
che assumono un insieme discreto e numerabile di valori.
In altre parole, la variabile può assumere solo valori distinti e contabili, come numeri interi o una sequenza finita di valori.

Ecco alcune caratteristiche principali delle variabili casuali discrete:
Spazi di Valori Distinti:
Le variabili casuali discrete possono assumere solo valori specifici e distinti.
Ad esempio, il numero di teste ottenute lanciando un dado è una variabile casuale discreta che può assumere valori da 1 a 6.

Probabilità Associata ad Ogni Valore:
Ogni valore che una variabile casuale discreta può assumere ha una probabilità associata. La somma di tutte queste probabilità deve essere uguale a 1.
Funzione di Probabilità:
La distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta è rappresentata dalla sua funzione di probabilità discreta (o "probability mass function" - PMF).
Questa funzione assegna la probabilità di ciascun valore che la variabile può assumere.

Variabile casuale binomiale

E' un tipo specifico di variabile casuale discreta che si applica in situazioni in cui un esperimento ha due possibili esiti, comunemente indicati come "successo" e "fallimento".
La distribuzione binomiale è spesso utilizzata per modellare il numero di successi in una serie di tentativi indipendenti, ognuno con la stessa probabilità di successo.
Le principali caratteristiche di una variabile casuale binomiale sono:
1. Due Possibili Esiti: spesso chiamati "successo" e "fallimento".
2. Probabilità Costante di Successo: La probabilità di successo, non cambia da un tentativo all'altro.
3. Tentativi Indipendenti: Ogni tentativo è indipendente dagli altri.
4. Numero Fisso di Tentativi: fissato in anticipo.
La distribuzione binomiale è descritta dalla funzione di probabilità binomiale (o PMF)
che indica la probabilità di ottenere un numero specifico di successi in un certo numero di tentativi.
La formula generale della PMF per una variabile binomiale è data da:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] dove:
- P(X = k) è la probabilità di ottenere k successi,
- n è il numero totale di tentativi,
- p è la probabilità di successo in un singolo tentativo, - binom{n}{k} rappresenta il coefficiente binomiale, che è il numero di modi in cui k successi possono verificarsi in n tentativi.

Esempio

Supponiamo di lanciare un dado equo (con 6 facce numerate da 1 a 6) cinque volte.
Vogliamo calcolare la probabilità di ottenere esattamente tre "6" nei cinque lanci.
- n = 5 (numero totale di lanci)
- k = 3 (numero di successi, cioè ottenere un "6")
- \( p = \frac{1}{6} \) (probabilità di ottenere un "6" in un singolo lancio)
La formula binomiale diventa:
\[ P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 \] Calcolando questo valore ci darà la probabilità di ottenere esattamente tre "6" in cinque lanci di un dado equo.

Variabili geometriche

Sono un tipo di variabile casuale discreta che si applica quando
si modellano situazioni in cui stiamo interessati al numero di tentativi necessari per ottenere
il primo successo in una sequenza di tentativi indipendenti.
Ogni tentativo può avere solo due esiti possibili, comunemente indicati come "successo" o "fallimento".
La distribuzione geometrica è descritta dalla funzione di probabilità geometrica (o PMF) che indica la probabilità che il primo successo si verifichi nel tentativo k .
La formula generale della PMF per una variabile geometrica è data da:
\[ P(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot p \] dove:
- P(X = k) è la probabilità che il primo successo si verifichi nel tentativo \( k \),
- p è la probabilità di successo in ogni tentativo.

Esempio

Supponiamo di lanciare una moneta equa con probabilità di successo p = 0.5
Vogliamo calcolare la probabilità di ottenere il primo "testa" nel terzo lancio.
La formula geometrica diventa:
\[ P(X = 3) = (1 - 0.5)^{3-1} \cdot 0.5 \] Calcolando questo valore ci darà la probabilità di ottenere
il primo "testa" nel terzo lancio di una moneta equa.
La variabile geometrica modella il numero di tentativi necessari per ottenere
il primo successo in una sequenza di tentativi indipendenti con una probabilità costante di successo.

Variabili di Poisson

Sono un tipo di variabile casuale discreta utilizzata per modellare un numero di eventi rari che si verificano in un intervallo fisso di tempo o spazio.
Queste variabili sono spesso utilizzate in contesti in cui gli eventi si verificano
in modo casuale e indipendente, ma a una frequenza media nota.
Le principali caratteristiche delle variabili di Poisson sono:
1. Eventi Rari: sono adatte per modellare eventi che sono rari e non si sovrappongono.
Ad esempio, il numero di chiamate ricevute da un centralino telefonico in un ora
2. Frequenza Media Costante: La frequenza media di eventi in un intervallo fisso è costante e nota.
Questo è spesso indicato dalla lettera greca lambda (\( \lambda \)).
3. Indipendenza:Gli eventi devono essere indipendenti l'uno dall'altro.
La funzione di probabilità di una variabile di Poisson è data da:
\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!} \] dove:
- P(X = k) è la probabilità che si verifichino \( k \) eventi nell'intervallo,
- \( \lambda \) è la frequenza media di eventi nell'intervallo,
- \( e \) è la costante di Nepero (circa 2.71828),
- k! rappresenta il fattoriale di k .

Esempio

Supponiamo di osservare il numero di auto che passano attraverso un casello autostradale
in un intervallo di 10 minuti. Se la frequenza media di auto è di 5 per 10 minuti \( \lambda = 5 \),
la probabilità di osservare esattamente 3 auto k = 3, in quell'intervallo può essere calcolata utilizzando la formula di Poisson.